Задача №20842

Один из углов параллелограмма равен $111^{\circ }\text{.}$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, в котором один из углов равен $111^{\circ }\text{.}$

Противоположные стороны параллелограмма параллельны, поэтому два угла, прилежащие к одной стороне, — односторонние при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle B=180^{\circ }.$$

Если $\angle A=111^{\circ }\text{,}$ то соседний угол равен

$$\angle B=180^{\circ }-111^{\circ }=69^{\circ }.$$

Противоположные углы параллелограмма равны, значит его углы — это $111^{\circ },69^{\circ },111^{\circ },69^{\circ }\text{.}$ Наименьший из них равен $69^{\circ }\text{.}$

Проверка: сумма углов четырёхугольника $111^{\circ }+69^{\circ }+111^{\circ }+69^{\circ }=360^{\circ }$ — верно; при этом $69^{\circ }<111^{\circ }\text{,}$ то есть меньший угол найден правильно.

Ответ: $69\text{.}$