Задача №19170

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные $65^{\circ }$ и $80^{\circ }\text{.}$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Диагональ $BD$ разбивает угол $B$ параллелограмма на два угла: $\angle ABD=65^{\circ }$ и $\angle DBC=80^{\circ }\text{.}$

1. Тогда угол при вершине $B$ равен

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=65^{\circ }+80^{\circ }=145^{\circ }.$$

2. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, $AB$ — секущая, поэтому углы $A$ и $B$ — односторонние, их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle A=180^{\circ }-145^{\circ }=35^{\circ }.$$

3. Противоположные углы параллелограмма равны, значит его углы: $35^{\circ },145^{\circ },35^{\circ },145^{\circ }\text{.}$ Меньший из них — $35^{\circ }\text{.}$

Ответ: $35\text{.}$