Задача №19487

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $70^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $49^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, значит суммы его противоположных углов равны $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ADC=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }.$$

В треугольнике $ACD$ известны два угла: $\angle CAD=49^{\circ }$ и $\angle ADC=110^{\circ }\text{.}$ По теореме о сумме углов треугольника

$$\angle ACD=180^{\circ }-110^{\circ }-49^{\circ }=21^{\circ }.$$

Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $AD\text{,}$ поэтому они равны:

$$\angle ABD=\angle ACD=21^{\circ }.$$

Ответ: $21\text{.}$