Задача №20834

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD\text{,}$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $21^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{,}$ причём $\angle AKB=21^{\circ }\text{.}$

По определению биссектрисы

$$\angle BAK=\angle KAD=\frac{\angle A}{2}.$$

В параллелограмме $BC\parallel AD\text{,}$ а $AK$ — секущая, поэтому $\angle AKB$ и $\angle KAD$ — накрест лежащие углы, значит

$$\angle AKB=\angle KAD=\frac{\angle A}{2}=21^{\circ }⟹\angle A=2\cdot 21^{\circ }=42^{\circ }.$$

Проверка. В треугольнике $ABK$ получаем $\angle BAK=\angle AKB=21^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник равнобедренный ($BA=BK$), и $\angle B=180^{\circ }-21^{\circ }-21^{\circ }=138^{\circ }\text{.}$ Углы $A$ и $B$ параллелограмма соседние: $42^{\circ }+138^{\circ }=180^{\circ }$ — верно. Из двух углов параллелограмма ($42^{\circ }$ и $138^{\circ }$) острый — угол $42^{\circ }\text{.}$

Ответ: $42\text{.}$