Задача №18894

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD\text{,}$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $33^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{,}$ причём $\angle AKB=33^{\circ }\text{.}$

По определению биссектрисы $\angle BAK=\angle KAD=\frac{\angle A}{2}\text{.}$

В параллелограмме $BC\parallel AD\text{,}$ а $AK$ — секущая, поэтому углы $\angle AKB$ и $\angle KAD$ — накрест лежащие:

$$\angle AKB=\angle KAD=\frac{\angle A}{2}.$$

Значит, $\frac{\angle A}{2}=33^{\circ }\text{,}$ откуда

$$\angle A=2\cdot 33^{\circ }=66^{\circ }.$$

(Попутно видно, что треугольник $ABK$ равнобедренный: $\angle BAK=\angle AKB=33^{\circ }\text{,}$ то есть $BA=BK\text{.}$)

Угол $66^{\circ }$ острый, а соседний с ним угол параллелограмма равен $180^{\circ }-66^{\circ }=114^{\circ }$ — тупой. Следовательно, острый угол параллелограмма равен $66^{\circ }\text{.}$

Ответ: $66\text{.}$