Задача №20833

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ вписанной в окружность, равен $52^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, то есть около неё описана окружность. Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$

Способ 1 (через параллельность оснований).

Боковая сторона $AB$ — секущая для параллельных прямых $AD$ и $BC\text{,}$ поэтому углы $A$ и $B$ трапеции — односторонние, и их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle B=180^{\circ }⟹\angle B=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }.$$

Способ 2 (проверка через вписанный четырёхугольник).

В любом вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны $180^{\circ }\text{,}$ значит

$$\angle C=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }.$$

Кроме того, трапеция, вписанная в окружность, обязательно равнобедренная, поэтому углы при меньшем основании $BC$ равны: $\angle B=\angle C=128^{\circ }\text{.}$

Оба способа дают один и тот же результат. Контроль: сумма углов четырёхугольника $52^{\circ }+128^{\circ }+128^{\circ }+52^{\circ }=360^{\circ }$ — верно.

Ответ: $128\text{.}$