Задача №19077

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD\text{,}$ вписанного в окружность, равен $78^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, значит около него описана окружность.

По свойству вписанного четырёхугольника суммы его противоположных углов равны $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle C=180^{\circ }.$$

(Действительно, вписанный угол $A$ опирается на дугу $BCD\text{,}$ а вписанный угол $C$ — на дугу $BAD\text{;}$ вместе эти дуги составляют всю окружность, то есть $360^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\cdot 360^{\circ }=180^{\circ }\text{.}$)

Отсюда

$$\angle C=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-78^{\circ }=102^{\circ }.$$

Ответ: $102\text{.}$