Задача №18873

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, вписанный в окружность. Диагональ $AC$ видна из вершины $B$ под прямым углом ($\angle ABC=90^{\circ }$), значит $AC$ — диаметр описанной окружности: $AC=5\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B\text{.}$ Пусть $\angle BAC$ — угол между стороной $AB$ и диагональю $AC\text{,}$ $\sin \angle BAC=0,8\text{.}$ Тогда противолежащий катет

$$BC=AC\cdot \sin \angle BAC=5\cdot 0,8=4.$$

Вторую сторону найдём по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{25-16}=3.$$

Площадь прямоугольника: $S=AB\cdot BC=3\cdot 4=12\text{.}$

Ответ: 12.