Постройте график функции
y=x+3(x2+3x)⋅∣x∣.
Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
1. Упрощение формулы.
Область определения: x+3=0, то есть x=−3.
В числителе x2+3x=x(x+3), поэтому при x=−3
y=x+3x(x+3)⋅∣x∣=x∣x∣.2. Построение графика.
x∣x∣={x2,−x2,x≥0,x<0.При x≥0 это правая ветвь параболы y=x2, при x<0 — левая ветвь параболы y=−x2. Обе ветви стыкуются в точке (0;0), график непрерывен и возрастает на всей числовой прямой.
Из графика нужно выколоть точку с абсциссой x=−3: там y=−3⋅∣−3∣=−9, то есть выколота точка (−3;−9).
3. Пересечение с прямой y=m.
Функция y=x∣x∣ строго возрастает: на [0;+∞) растёт x2, на (−∞;0) растёт −x2, причём при x<0 значения отрицательны, а при x≥0 неотрицательны. Значит, каждое значение m функция принимает ровно при одном x, и горизонтальная прямая y=m пересекает сплошной график ровно один раз.
Общих точек не будет только в том случае, когда эта единственная точка — выколотая. Решим уравнение x∣x∣=−9: так как −9<0, то x<0 и −x2=−9, откуда x2=9, x=−3. Это и есть выколотая точка.
Следовательно, при m=−9 прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки, а при всех остальных m общая точка ровно одна.
Проверка. При m=−4: x∣x∣=−4 даёт x=−2=−3 — общая точка есть. При m=9: x=3 — общая точка есть. При m=−9 единственный корень x=−3 исключён из области определения — общих точек нет.
Ответ: m=−9.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ