Задача №19637

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2-4x-1,& x⩾-3,\\ -x-3,& x<-3.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Разбираем первый кусок ($x⩾-3$).

Выделим полный квадрат:

$$y=-x^2-4x-1=-\left(x^2+4x+1\right)=-\left((x+2{)}^2-3\right)=-(x+2{)}^2+3.$$

Это парабола с вершиной $(-2;3)\text{,}$ ветви вниз. Берём её часть при $x⩾-3\text{:}$ левый конец $x=-3$ даёт $y=-(-3+2{)}^2+3=2\text{,}$ то есть точка $(-3;2)$ входит в график (закрашена). Далее кусок поднимается до вершины $(-2;3)$ и затем неограниченно убывает.

2. Разбираем второй кусок ($x<-3$).

$y=-x-3$ — луч прямой. При $x\to -3^{-}$ получаем $y\to 0\text{,}$ точка $(-3;0)$ выколота. При $x<-3$ имеем $-x-3>0\text{,}$ и при убывании $x$ значение неограниченно растёт. Значит этот луч даёт ровно одну точку пересечения с прямой $y=m$ при каждом $m>0$ и ни одной при $m⩽0\text{.}$

3. Сколько точек даёт парабола.

Решаем $-(x+2{)}^2+3=m\text{,}$ то есть $(x+2{)}^2=3-m\text{,}$ откуда $x=-2\pm \sqrt{3-m}$ (при $m⩽3$).

• $m>3$ — корней нет: $0$ точек;
• $m=3$ — один корень $x=-2\text{:}$ $1$ точка;
• $2⩽m<3$ — тогда $0<\sqrt{3-m}⩽1\text{,}$ оба корня удовлетворяют $x⩾-3$ (при $m=2$ это $x=-3$ и $x=-1$): $2$ точки;
• $m<2$ — тогда $\sqrt{3-m}>1\text{,}$ корень $x=-2-\sqrt{3-m}<-3$ не годится, остаётся один: $1$ точка.

4. Складываем.

Ровно две общие точки получаются при $0<m<2$ и при $m=3\text{.}$

Ответ: $0<m<2\text{;}$ $m=3\text{.}$