Постройте график функции y=cases -x^(2)-4x-1, & x -3, -x-3, & x < -3. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем первый кусок (x -3). Выделим полный квадрат: y=-x^(2)-4x-1=-(x^(2)+4x+1)=-((x+2)^(2)-3)=-(x+2)^(2)+3. Это парабола с вершиной (-2;3), ветви вниз. Берём её часть при x -3: левый конец x=-3 даёт y=-(-3+2)^(2)+3=2, то есть точка (-3;2) входит в график (закрашена). Далее кусок поднимается до вершины (-2;3) и затем неограниченно убывает. Разбираем второй кусок (x<-3). y=-x-3 — луч прямой. При x -3^(-) получаем y 0, точка (-3;0) выколота. При x<-3 имеем -x-3>0, и при убывании x значение неограниченно растёт. Значит этот луч даёт ровно одну точку пересечения с прямой y=m при каждом m>0 и ни одной при m 0. Сколько точек даёт парабола. Решаем -(x+2)^(2)+3=m, то есть (x+2)^(2)=3-m, откуда x=-2+-sqrt(3-m) (при m 3). m>3 — корней нет: 0 точек; m=3 — один корень x=-2: 1 точка; 2 m<3 — тогда 0<sqrt(3-m) 1, оба корня удовлетворяют x -3 (при m=2 это x=-3 и x=-1): 2 точки; m<2 — тогда sqrt(3-m)>1, корень x=-2-sqrt(3-m)<-3 не годится, остаётся один: 1 точка. Складываем. | m | парабола | луч | всего | |---|---|---|---| | m>3 | 0 | 1 | 1 | | m=3 | 1 | 1 | 2 | | 2 m<3 | 2 | 1 | 3 | | 0<m<2 | 1 | 1 | 2 | | m 0 | 1 | 0 | 1 | Ровно две общие точки получаются при 0<m<2 и при m=3. Ответ: 0<m<2; m=3.

0 < m < 2; m = 3