Задача №19968

Постройте график функции

$y=3|x+2|-x^2-3x-2\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Раскрываем модуль. Функция $y=3|x+2|-x^2-3x-2$ задаётся двумя формулами.

При $x\ge -2\text{:}$ $|x+2|=x+2\text{,}$ поэтому

$$y=3(x+2)-x^2-3x-2=-x^2+4.$$

Это часть параболы $y=-x^2+4$ (ветви вниз, вершина $(0;4)$) при $x\ge -2\text{;}$ в точке $x=-2$ значение $y=0\text{.}$

При $x<-2\text{:}$ $|x+2|=-(x+2)\text{,}$ поэтому

$$y=-3(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-6x-8=-(x+2)(x+4).$$

Это часть параболы с ветвями вниз и вершиной $(-3;1)\text{;}$ нули в точках $x=-4$ и $x=-2\text{,}$ берём только $x<-2\text{.}$

В точке $x=-2$ обе части дают $y=0$ — график непрерывен.

2. Строим график. Левая часть ($x<-2$) — дуга параболы через $(-4;0)\text{,}$ вершину $(-3;1)$ и приближающаяся к $(-2;0)\text{.}$ Правая часть ($x\ge -2$) — дуга параболы от $(-2;0)$ вверх к вершине $(0;4)$ и далее вниз.

3. Считаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Левая ветвь (вершина $(-3;1)\text{,}$ на луче $x<-2$): даёт $2$ решения при $0<m<1\text{,}$ ровно $1$ решение при $m\le 0$ и при $m=1\text{,}$ и $0$ решений при $m>1$ (значение $x=-2$ в левую часть не входит).

Правая ветвь (вершина $(0;4)\text{,}$ на луче $x\ge -2$): даёт $2$ решения при $0\le m<4\text{,}$ $1$ решение при $m<0$ и при $m=4\text{,}$ и $0$ решений при $m>4\text{.}$

Суммарное число точек:

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=1$ (точки $(-3;1)\text{,}$ $(\pm \sqrt{3};1)$) и при $m=0$ (точки $(-4;0)\text{,}$ $(-2;0)\text{,}$ $(2;0)$).

Ответ: $m=0$ или $m=1\text{.}$