Задача №20131

Постройте график функции

$y=x|x|+2|x|-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. Функция $y=x|x|+2|x|-5x$ распадается на два случая.

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x+2x-5x=x^2-3x.$$

Это часть параболы ветвями вверх с вершиной в точке $\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)\text{,}$ то есть $(1,5;-2,25)\text{;}$ она проходит через $(0;0)$ и $(3;0)\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot (-x)+2\cdot (-x)-5x=-x^2-7x.$$

Это часть параболы ветвями вниз с вершиной в точке $\left(-\frac{7}{2};\frac{49}{4}\right)\text{,}$ то есть $(-3,5;12,25)\text{;}$ она проходит через $(-7;0)$ и стремится к $(0;0)\text{.}$

Общий вид графика. Слева от нуля кривая поднимается из $-\infty$ до максимума $12,25$ при $x=-3,5\text{,}$ затем опускается к началу координат; справа от нуля она опускается до минимума $-2,25$ при $x=1,5$ и снова уходит вверх.

Прямая $y=m$ и число общих точек. Подсчитаем пересечения:

• $m>12,25\text{:}$ прямая выше максимума левой части — пересекает только правую восходящую ветвь. 1 точка.
• $m=12,25\text{:}$ касание в вершине $(-3,5;12,25)$ плюс правая восходящая ветвь. 2 точки.
• $-2,25<m<12,25$ (кроме особых значений в этом промежутке): левая часть даёт 2 точки в области пика (или 1 при $m<0$), правая — оставшиеся; во всех этих случаях получается 3 точки.
• $m=-2,25\text{:}$ касание в вершине $(1,5;-2,25)$ плюс дальняя левая ветвь. 2 точки.
• $m<-2,25\text{:}$ пересекает только дальнюю левую ветвь. 1 точка.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком в двух случаях: при касании одной из вершин парабол — $m=-2,25$ и $m=12,25\text{.}$

Ответ: $m=-2,25$ или $m=12,25\text{.}$