Задача №20054

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^{\circ }\text{.}$ Найдите площадь этой трапеции.

Опустим из вершин меньшего основания высоты на большее основание. В равнобедренной трапеции они отсекают по краям два равных прямоугольных треугольника, а в середине — прямоугольник, равный меньшему основанию $4\text{.}$

Сумма оснований отсекаемых треугольников равна разности оснований трапеции:

$$8-4=4,$$

поэтому основание каждого треугольника равно $\frac{4}{2}=2\text{.}$

Угол между боковой стороной и основанием равен $45^{\circ }\text{,}$ значит прямоугольный треугольник равнобедренный, и его высота (она же высота трапеции) равна основанию:

$$h=2\cdot \tan 45^{\circ }=2.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{4+8}{2}\cdot 2=6\cdot 2=12.$$

Ответ: $12\text{.}$