Задача №20823

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABO\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Обозначим через $C$ точку пересечения касательных, тогда по условию $\angle ACB=72^{\circ }\text{.}$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

$$\angle OAC=\angle OBC=90^{\circ }.$$

Рассмотрим четырёхугольник $OACB\text{.}$ Сумма его углов равна $360^{\circ }\text{,}$ значит

$$\angle AOB=360^{\circ }-\angle OAC-\angle OBC-\angle ACB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }.$$

Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA=OB=R$ — радиусы одной окружности. Углы при основании $AB$ равны, поэтому

$$\angle ABO=\angle BAO=\frac{180^{\circ }-108^{\circ }}{2}=\frac{72^{\circ }}{2}=36^{\circ }.$$

Проверка вторым способом. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $CA=CB\text{.}$ Значит треугольник $ACB$ равнобедренный, и углы при его основании $AB$ равны

$$\angle ABC=\angle BAC=\frac{180^{\circ }-72^{\circ }}{2}=54^{\circ }.$$

Луч $BA$ лежит внутри прямого угла $OBC\text{,}$ поэтому

$$\angle ABO=\angle OBC-\angle ABC=90^{\circ }-54^{\circ }=36^{\circ }.$$

Ответы совпали.

Ответ: 36.