Задача №20386

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $54^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Все вершины четырёхугольника $ABCD$ лежат на окружности, поэтому углы при вершинах — вписанные, и каждый из них равен половине дуги, на которую опирается.

Дуга $AD\text{.}$ Вписанный угол $\angle ABD=38^{\circ }$ опирается на дугу $AD$ (не содержащую $B$), значит

$$⌣AD=2\cdot 38^{\circ }=76^{\circ }.$$

Дуга $CD\text{.}$ Вписанный угол $\angle CAD=54^{\circ }$ опирается на дугу $CD$ (не содержащую $A$), значит

$$⌣CD=2\cdot 54^{\circ }=108^{\circ }.$$

Угол $ABC\text{.}$ Он опирается на дугу $ADC\text{,}$ идущую от $A$ к $C$ через $D$ (не содержащую $B$):

$$⌣ADC=⌣AD+⌣DC=76^{\circ }+108^{\circ }=184^{\circ }.$$

Тогда

$$\angle ABC=\frac{1}{2}⌣ADC=\frac{1}{2}\cdot 184^{\circ }=92^{\circ }.$$

Ответ: $92\text{.}$