Задача №20819

Автомобильные шины

Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки шин применяется единая система обозначений, например $195/65R15\text{.}$ Первое число — ширина шины $B$ в миллиметрах. Второе число — высота боковины $H$ в процентах от ширины: для $195/65R15$ высота равна $195\cdot 0,65=126,75$ мм. Буква $R$ означает радиальную конструкцию, а следующее за ней число — диаметр диска $d$ в дюймах (в одном дюйме $25,4$ мм). Общий диаметр колеса вычисляется как $D=25,4\cdot d+2H\text{.}$

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами $175/70R12\text{.}$

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 175/65 R13? Результат округлите до десятых.

За один оборот колесо проезжает расстояние, равное длине его окружности $\pi D\text{,}$ где $D$ — общий диаметр колеса. Значит, пробег за один оборот пропорционален диаметру, и во сколько раз изменится диаметр — во столько же раз изменится пробег.

Общий диаметр колеса: $D=25,4\cdot d+2\cdot \frac{B\cdot H}{100}\text{.}$

Заводские шины $175/70R12\text{:}$

$$D_1=25,4\cdot 12+2\cdot 175\cdot 0,70=304,8+245=549,8\text{(мм)}.$$

Новые шины $175/65R13\text{:}$

$$D_2=25,4\cdot 13+2\cdot 175\cdot 0,65=330,2+227,5=557,7\text{(мм)}.$$

Увеличение пробега в процентах:

$$\frac{\pi D_2-\pi D_1}{\pi D_1}\cdot 100\%=\frac{D_2-D_1}{D_1}\cdot 100\%=\frac{557,7-549,8}{549,8}\cdot 100\%=\frac{7,9}{549,8}\cdot 100\%\approx 1,4369\%.$$

Округляя до десятых, получаем $1,4\text{.}$

Проверка. $549,8\cdot 1,014=557,497\text{,}$ а $549,8\cdot 1,015=558,047\text{.}$ Число $557,7$ лежит между ними и ближе к первому, значит увеличение составляет примерно $1,44\%\text{,}$ что при округлении до десятых даёт $1,4\text{.}$

Ответ: $1,4\text{.}$