Задача №20809

Что видно на чертеже.

Вершины треугольника стоят в узлах сетки. Чтобы попасть из $A$ в $B\text{,}$ нужно сместиться на $2$ клетки вправо и на $4$ клетки вверх. Точка $M$ лежит на стороне $AB$ там, где эта сторона пересекает горизонтальную линию сетки, проходящую на $3$ клетки выше $A\text{;}$ от этой линии до $B$ остаётся ещё $1$ клетка вверх.

Способ 1. Теорема Фалеса.

Горизонтальные линии сетки параллельны и отсекают на любой вертикальной прямой равные отрезки — по одной клетке. По теореме Фалеса на любой другой секущей они тоже отсекают равные отрезки. Секущая здесь — прямая $AB\text{:}$ точка $A$ лежит на линии сетки, и, поднимаясь к $B\text{,}$ мы пересекаем ещё $3$ горизонтальные линии, последняя из которых проходит через $B\text{.}$ Значит, эти линии делят отрезок $AB$ на $4$ равные части.

Точка $M$ — третья из точек деления, считая от $A\text{.}$ Поэтому на $AM$ приходится $3$ части, а на $MB$ — $1$ часть, и

$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{1}=3.$

Способ 2 (проверка). Теорема Пифагора.

Из $A$ в $B$ идём на $2$ вправо и на $4$ вверх, поэтому

$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$

Точка $M$ поднята над $A$ на $3$ клетки из четырёх, значит вправо от $A$ она смещена на $\frac{3}{4}\cdot 2=1,5$ клетки. Тогда

$AM=\sqrt{1,5^2+3^2}=\sqrt{2,25+9}=\sqrt{11,25}=1,5\sqrt{5}.$

Из $M$ в $B$ остаётся $0,5$ клетки вправо и $1$ клетка вверх, поэтому

$BM=\sqrt{0,5^2+1^2}=\sqrt{1,25}=0,5\sqrt{5}.$

Сумма сходится: $AM+BM=1,5\sqrt{5}+0,5\sqrt{5}=2\sqrt{5}=AB\text{.}$ Наконец,

$\frac{AM}{BM}=\frac{1,5\sqrt{5}}{0,5\sqrt{5}}=3.$

Оба способа дали один и тот же результат.

Ответ: 3