Задача №20807

Радиус меньшего круга.

Центр меньшего круга находится в узле сетки, а его окружность проходит через узлы сетки, отстоящие от центра ровно на $2$ клетки вправо, влево, вверх и вниз. Значит, $r=2\text{.}$

Радиус большего круга.

Центр большего круга тоже лежит в узле сетки, но его окружность не проходит через узлы, лежащие на горизонтальной и вертикальной линиях, идущих через центр. Она проходит через узлы, смещённые от центра на $1$ клетку по горизонтали и на $2$ клетки по вертикали (а также на $2$ клетки по горизонтали и $1$ клетку по вертикали).

Соединив центр с таким узлом, получаем прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $2\text{,}$ гипотенуза которого и есть радиус. По теореме Пифагора $R=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\text{.}$

Отношение площадей.

Площадь круга равна $S=\pi R^2\text{,}$ поэтому

$\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{R^2}{r^2}=\frac{(\sqrt{5}{)}^2}{2^2}=\frac{5}{4}=1,25\text{.}$

Проверка.

Диаметр меньшего круга равен $2r=4$ клетки, диаметр большего — $2R=2\sqrt{5}\approx 4,47$ клетки. На чертеже больший круг действительно лишь немного шире меньшего. Отношение площадей как отношение квадратов диаметров даёт ${\left(\frac{2\sqrt{5}}{4}\right)}^2=\frac{20}{16}=1,25$ — тот же ответ.

Ответ: 1,25