Задача №20805

Читаем чертёж.

Фигура состоит из двух наклонных отрезков и вертикального отрезка $AB\text{.}$ Обозначим левый конец верхнего наклонного отрезка через $K\text{,}$ левый конец нижнего — через $L\text{,}$ а их общую правую точку — через $M\text{.}$

Точки $K$ и $L$ лежат в узлах одной вертикальной линии сетки, и между ними $3$ клетки, поэтому $KL=3\text{.}$ Точка $M$ лежит на вертикальной линии сетки, отстоящей от прямой $KL$ на $2$ клетки. Отрезок $AB$ лежит на промежуточной вертикальной линии сетки — ровно на $1$ клетку правее $KL\text{;}$ при этом $A$ лежит на отрезке $KM\text{,}$ а $B$ — на отрезке $LM\text{.}$

Основной шаг.

Вертикальные линии сетки параллельны и отсекают на любой горизонтальной прямой равные отрезки — по одной клетке. По теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на секущей $KM\text{,}$ поэтому $KA=AM\text{,}$ то есть $A$ — середина стороны $KM\text{.}$ Точно так же $B$ — середина стороны $LM\text{.}$

Значит, $AB$ — средняя линия треугольника $KLM\text{,}$ проведённая к стороне $KL\text{,}$ и

$AB=\frac{KL}{2}=\frac{3}{2}=1,5\text{.}$

Проверка (через подобие).

Прямые $AB$ и $KL$ вертикальны, значит $AB\parallel KL\text{,}$ и треугольник $MAB$ подобен треугольнику $MKL\text{.}$ Коэффициент подобия равен отношению расстояний от точки $M$ до прямых $AB$ и $KL\text{,}$ то есть $\frac{1}{2}\text{.}$ Отсюда

$AB=\frac{1}{2}\cdot KL=\frac{1}{2}\cdot 3=1,5\text{.}$

Заметим, что ответ не зависит от того, на какой высоте стоит точка $M\text{:}$ важно лишь, что прямая $AB$ делит горизонтальное расстояние от $KL$ до $M$ пополам. Чертёж это подтверждает: отрезок $AB$ занимает полторы клетки.

Ответ: 1,5