Задача №20419

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC\text{.}$ Во сколько раз отрезок $AM$ короче отрезка $BM\text{?}$

Вершины треугольника попадают в узлы сетки. Возьмём клетку за единицу. Тогда $A$ — в некотором узле, $B$ — на $2$ клетки правее и на $4$ клетки выше $A\text{,}$ а $C$ — правее и ниже. Точка $M$ отмечена на стороне $AB\text{:}$ она лежит на горизонтальной линии сетки, проходящей на одну клетку выше $A$ (то есть на середине верхнего ребра клетки).

Точки $A\text{,}$ $M\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой, поэтому отношение длин отрезков $AM$ и $MB$ равно отношению их вертикальных проекций (подобие прямоугольных треугольников с катетами вдоль линий сетки, теорема о пропорциональных отрезках):

• от $A$ до $M$ подъём равен $1$ клетке;
• от $M$ до $B$ подъём равен $3$ клеткам.

Значит

$$\frac{BM}{AM}=\frac{3}{1}=3.$$

Проверка по теореме Пифагора (горизонтальные проекции $0,5$ и $1,5$ клетки):

$$AM=\sqrt{0,5^2+1^2}=\sqrt{1,25},BM=\sqrt{1,5^2+3^2}=\sqrt{11,25},$$ $$\frac{BM}{AM}=\sqrt{\frac{11,25}{1,25}}=\sqrt{9}=3.$$

Отрезок $AM$ короче отрезка $BM$ в $3$ раза.

Ответ: 3.