Задача №20798

Площадь круга радиуса $R$ равна $S=\pi R^2\text{,}$ поэтому отношение площадей двух кругов равно отношению квадратов их радиусов:

Больший круг. Его центр находится в узле сетки, а сама окружность касается линий сетки сверху, снизу, слева и справа. Между этими линиями укладывается 8 клеток, то есть диаметр большего круга равен 8, значит

Меньший круг. Его центр тоже лежит в узле сетки, но линий сетки окружность не касается: она проходит через узлы сетки, смещённые от центра на 2 клетки в одну сторону и на 1 клетку в другую. Радиус — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1, поэтому по теореме Пифагора

Следовательно,

Проверка. Посчитаем площади отдельно: $S_{\text{б}}=\pi \cdot 4^2=16\pi \text{,}$ $S_{\text{м}}=\pi \cdot (\sqrt{5}{)}^2=5\pi \text{.}$ Тогда $16\pi =3,2\cdot 5\pi$ — верно.

Сверим результат с рисунком: диаметр меньшего круга равен $2\sqrt{5}\approx 4,47$ клетки, и на картинке меньший круг действительно чуть уже, чем $4,5$ клетки, а больший ровно вдвое шире $4$ клеток. Отношение радиусов $\frac{4}{\sqrt{5}}\approx 1,79\text{,}$ его квадрат $\approx 3,2\text{.}$

Ответ: $3,2\text{.}$