Задача №20786

Находим радиус большего круга.

Его центр стоит в узле сетки, а сама окружность проходит через узлы, отстоящие от центра ровно на $4$ клетки влево, вправо, вверх и вниз. Значит, $R=4\text{.}$

Находим радиус меньшего круга.

Его центр тоже стоит в узле сетки, но окружность проходит через «диагональные» узлы — те, что смещены от центра на $1$ клетку по горизонтали и на $1$ клетку по вертикали. Радиус здесь — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $1$ и $1\text{,}$ поэтому по теореме Пифагора $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\text{.}$

Считаем отношение площадей.

Пусть $S_1$ — площадь большего круга, $S_2$ — меньшего. Тогда

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{R^2}{r^2}=\frac{4^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{16}{2}=8\text{.}$

Проверка вторым способом (через диаметры).

Диаметр большего круга равен $2R=8$ клеткам, диаметр меньшего — $2r=2\sqrt{2}$ клетки. Любые два круга подобны, коэффициент подобия равен отношению диаметров: $k=\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\text{.}$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $k^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8\text{.}$ Ответ совпал.

Прикидка по чертежу тоже сходится: диаметр большого круга $8$ клеток, а маленького примерно $2,8$ клетки, и $8:2,8\approx 2,8\text{,}$ то есть отношение площадей около $2,8^2\approx 8\text{.}$

Ответ: 8