Задача №20785

Что дано на чертеже.

Из верхней вершины фигуры выходят два наклонных отрезка. Их нижние концы лежат в узлах сетки на одной горизонтальной линии, и между этими узлами $5$ клеток. Сама вершина находится на $4$ клетки выше этой линии.

Отрезок $AB$ горизонтален и проведён по линии сетки, которая расположена на $2$ клетки ниже вершины, а значит и на $2$ клетки выше нижней линии. Точка $A$ лежит на левом наклонном отрезке, точка $B$ — на правом.

Способ 1. Средняя линия треугольника.

Обозначим вершину через $P\text{,}$ а нижние концы наклонных отрезков — через $M$ (левый) и $N$ (правый). Тогда $MN=5\text{,}$ а высота треугольника $PMN\text{,}$ проведённая из $P\text{,}$ равна $4$ клеткам.

Все горизонтальные линии сетки параллельны, и на стороне $PM$ прямая, содержащая $AB\text{,}$ отсекает от вершины $P$ ровно половину высоты: $2$ клетки сверху и $2$ клетки снизу. По теореме Фалеса параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной секущей, отсекают равные отрезки и на любой другой секущей. Поэтому $A$ — середина стороны $PM\text{,}$ а $B$ — середина стороны $PN\text{.}$

Значит, $AB$ — средняя линия треугольника $PMN\text{,}$ и $AB=\frac{MN}{2}=\frac{5}{2}=2,5\text{.}$

Обратите внимание: положение вершины $P$ по горизонтали на ответ не влияет — важны только длина $MN$ и то, что $AB$ проходит посередине между $P$ и $MN\text{.}$

Способ 2 (проверка). Подобие.

Так как $AB\parallel MN\text{,}$ треугольник $PAB$ подобен треугольнику $PMN$ по двум углам (угол $P$ общий, а углы $PAB$ и $PMN$ равны как соответственные при параллельных прямых). Коэффициент подобия равен отношению высот, проведённых из вершины $P\text{:}$ $k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\text{.}$

Отсюда $AB=k\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 5=2,5\text{.}$

Оба способа дают одинаковый результат, и он согласуется с чертежом: отрезок $AB$ занимает чуть меньше двух с половиной клеток.

Ответ: 2,5