Задача №20784

$ABCDE$ — правильный пятиугольник, $O$ — центр описанной около него окружности.

Докажите, что прямая $AO$ — серединный перпендикуляр к стороне $CD\text{.}$

Воспользуемся признаком: серединный перпендикуляр к отрезку — это множество точек, равноудалённых от его концов. Значит, достаточно найти две различные точки, равноудалённые от $C$ и $D\text{:}$ прямая через них и будет серединным перпендикуляром к $CD\text{.}$

1. Точка $O$ равноудалена от $C$ и $D\text{.}$

$O$ — центр описанной окружности, поэтому $OC=OD=R\text{.}$ Значит, $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $CD\text{.}$

2. Точка $A$ равноудалена от $C$ и $D\text{.}$

Угол правильного пятиугольника равен $\frac{180^{\circ }\cdot (5-2)}{5}=108^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AED\text{:}$

• $AB=AE$ (стороны пятиугольника);
• $BC=ED$ (стороны пятиугольника);
• $\angle ABC=\angle AED=108^{\circ }$ — углы между этими сторонами.

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AC=AD\text{,}$ то есть $A$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к $CD\text{.}$

3. Вывод.

Точки $A$ и $O$ различны (центр окружности не совпадает с точкой окружности, так как $R>0$), обе равноудалены от концов отрезка $CD\text{.}$ Через две различные точки проходит единственная прямая, а серединный перпендикуляр к $CD$ — прямая, содержащая обе эти точки. Следовательно, прямая $AO$ и есть серединный перпендикуляр к стороне $CD\text{:}$ она перпендикулярна $CD$ и проходит через её середину.

Проверка вторым способом. Пусть $M$ — середина $CD\text{.}$ Из $AC=AD$ следует, что $AM$ — медиана равнобедренного треугольника $ACD\text{,}$ а значит, и его высота: $AM\perp CD\text{.}$ Из $OC=OD$ так же получаем $OM\perp CD\text{.}$ Через точку $M$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $CD\text{,}$ поэтому точки $A\text{,}$ $M\text{,}$ $O$ лежат на одной прямой, и прямая $AO$ проходит через середину $CD$ перпендикулярно ей.

Ответ: доказательство.