Внутри квадрата ABCD отмечена точка E так, что треугольник ABE — правильный. Докажите, что ∠DEC=150∘.
1. Равнобедренный треугольник ADE. Пусть сторона квадрата равна a. Треугольник ABE правильный, поэтому AE=AB=a, а значит, AE=AD=a и треугольник ADE равнобедренный.
2. Угол при вершине A. Точка E лежит внутри квадрата, поэтому луч AE проходит внутри угла DAB, и ∠DAE=∠DAB−∠EAB=90∘−60∘=30∘.
3. Углы при основании. В равнобедренном треугольнике ADE: ∠AED=∠ADE=2180∘−30∘=75∘. Совершенно так же из равнобедренного треугольника BCE (BE=BC=a, ∠CBE=90∘−60∘=30∘) получаем ∠BEC=75∘.
4. Полный угол при точке E. Точка E лежит внутри квадрата, поэтому отрезки EA, EB, EC, ED разбивают квадрат на четыре треугольника, и углы при вершине E в сумме дают полный угол: ∠AEB+∠BEC+∠CED+∠DEA=360∘. Отсюда ∠CED=360∘−60∘−75∘−75∘=150∘, что и требовалось доказать.
Проверка вторым способом. Возьмём a=1 и координаты A(0;0), B(1;0), C(1;1), D(0;1). Тогда E(21;23), причём 23≈0,87<1, то есть точка действительно внутри квадрата. Находим DE=CE=41+(1−23)2=2−3 и DC=1. По теореме косинусов cos∠DEC=2⋅DE⋅CEDE2+CE2−DC2=2(2−3)2(2−3)−1=4−233−23. Умножим числитель и знаменатель на 4+23: знаменатель станет (4−23)(4+23)=16−12=4, а числитель — (3−23)(4+23)=12+63−83−12=−23. Значит, cos∠DEC=4−23=−23 и ∠DEC=150∘ — тот же результат.
Ответ: утверждение доказано.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения