Задача №20778

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной $a\text{.}$

Докажите, что его меньшая диагональ $AC$ равна $a\sqrt{3}\text{.}$

1. Угол шестиугольника.

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^{\circ }(n-2)\text{,}$ а у правильного многоугольника все углы равны. При $n=6$

$$\angle ABC=\frac{180^{\circ }\cdot (6-2)}{6}=120^{\circ }.$$

2. Теорема косинусов в треугольнике $ABC\text{.}$

В треугольнике $ABC$ имеем $AB=BC=a$ и $\angle ABC=120^{\circ }\text{.}$ Тогда

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=a^2+a^2-2a^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3a^2.$$

Значит, $AC=a\sqrt{3}\text{.}$

Проверка вторым способом (без теоремы косинусов). Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны

$$\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{;}$ в равнобедренном треугольнике она же медиана, значит, $AC=2AH\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $ABH\text{:}$

$$AH=AB\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},AC=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$$

Ответы совпали.

Ответ: доказательство.