Задача №20772

В правильный треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $r\text{,}$ около него описана окружность радиуса $R\text{.}$ Докажите, что $R=2r\text{.}$

1. Общий центр. В правильном треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, поэтому центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) и центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров) — это одна и та же точка $O$ — центр правильного треугольника.

2. Вспомогательный прямоугольный треугольник. Пусть $H$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC\text{.}$ Тогда $OH\perp BC$ и $OH=r\text{.}$ Кроме того, $OC=R$ как радиус описанной окружности.

3. Угол $30^{\circ }\text{.}$ Угол правильного треугольника равен $60^{\circ }\text{,}$ а $CO$ — биссектриса угла $C\text{,}$ поэтому $\angle OCH=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }\text{.}$

4. Вывод. В прямоугольном треугольнике $OHC$ катет $OH$ лежит против угла в $30^{\circ }\text{,}$ значит, он равен половине гипотенузы $OC\text{:}$ $r=OH=\frac{OC}{2}=\frac{R}{2}\text{,}$ откуда $R=2r\text{.}$

Проверка вторым способом. Пусть сторона равна $a\text{,}$ а $A{H}_1$ — высота, проведённая к стороне $BC\text{;}$ тогда $A{H}_1=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Высота правильного треугольника является и медианой, а точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины. Поэтому $R=AO=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ и $r=O{H}_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\text{.}$ Отношение $\frac{R}{r}=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{a\sqrt{3}}{6}=2$ — тот же результат.

Ответ: утверждение доказано.