Задача №20783

В одну и ту же окружность радиуса $R$ вписаны правильный треугольник со стороной $a_3\text{,}$ квадрат со стороной $a_4$ и правильный шестиугольник со стороной $a_6\text{.}$

Докажите, что $a_3^2=a_4^2+a_6^2\text{.}$

Все три многоугольника вписаны в одну окружность с центром $O$ и радиусом $R\text{,}$ поэтому каждая их сторона — хорда, стягивающая соответствующий центральный угол.

1. Шестиугольник: центральный угол $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }\text{.}$

Треугольник, образованный двумя радиусами и стороной, равнобедренный ($R=R$) с углом $60^{\circ }$ при вершине, значит, равносторонний. Поэтому

$$a_6=R,a_6^2=R^2.$$

2. Квадрат: центральный угол $\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }\text{.}$

Здесь получается прямоугольный треугольник с катетами $R$ и $R\text{,}$ по теореме Пифагора

$$a_4^2=R^2+R^2=2R^2,a_4=R\sqrt{2}.$$

3. Треугольник: центральный угол $\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }\text{.}$

Треугольник, образованный двумя радиусами и стороной, равнобедренный с углом $120^{\circ }$ при вершине, поэтому углы при его основании равны $\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }\text{.}$ Высота, опущенная из центра на сторону, является и медианой, поэтому из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и острым углом $30^{\circ }\text{:}$

$$\frac{a_3}{2}=R\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{R\sqrt{3}}{2},a_3=R\sqrt{3},a_3^2=3R^2$$

(теорема косинусов даёт то же самое: $a_3^2=R^2+R^2-2R^2\cos 120^{\circ }=3R^2$).

4. Итог.

$$a_4^2+a_6^2=2R^2+R^2=3R^2=a_3^2.$$

Равенство доказано.

Проверка подстановкой. Пусть $R=2\text{.}$ Тогда $a_6=2\text{,}$ $a_4=2\sqrt{2}\text{,}$ $a_3=2\sqrt{3}\text{,}$ и

$$a_4^2+a_6^2=8+4=12={\left(2\sqrt{3}\right)}^2=a_3^2.$$

Ответ: доказательство.