Задача №20768

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность с центром $O\text{.}$ Докажите, что четырёхугольник $ABCO$ — ромб.

1. Радиусы. Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ лежат на окружности с центром $O\text{,}$ поэтому $OA=OB=OC=R\text{.}$

2. Сторона равна радиусу. Центр правильного многоугольника виден из его сторон под равными центральными углами, и каждый такой угол равен $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $AOB$ имеем $OA=OB=R$ и $\angle AOB=60^{\circ }\text{;}$ равнобедренный треугольник с углом $60^{\circ }$ при вершине — равносторонний, поэтому $AB=R\text{.}$ Точно так же из треугольника $BOC$ получаем $BC=R\text{.}$

3. Четырёхугольник. Диагональ $AC$ отсекает от шестиугольника треугольник $ABC\text{,}$ не содержащий центра, поэтому точки $B$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AC\text{,}$ и $ABCO$ — настоящий (невырожденный) четырёхугольник с диагональю $AC\text{.}$

4. Вывод. У четырёхугольника $ABCO$ все стороны равны: $AB=BC=CO=OA=R\text{.}$ Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами — ромб.

Проверка вторым способом. Сторону правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R\text{,}$ можно найти как $a_n=2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}\text{.}$ При $n=6\text{:}$ $a_6=2R\sin 30^{\circ }=2R\cdot \frac{1}{2}=R$ — сторона действительно равна радиусу, что и использовано в решении.

Ответ: утверждение доказано.