Задача №20779

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R\text{.}$

Докажите, что сторона этого треугольника равна $R\sqrt{3}\text{,}$ а радиус вписанной в него окружности равен $\frac{R}{2}\text{.}$

Пусть $ABC$ — правильный треугольник, вписанный в окружность с центром $O$ и радиусом $R\text{.}$ У правильного треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой $O\text{.}$

1. Сторона.

Отрезки $OA\text{,}$ $OB\text{,}$ $OC$ делят полный угол при точке $O$ на три равных центральных угла:

$$\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }.$$

Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$), поэтому углы при его основании равны

$$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $AB=2AH\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $AOH$ с острым углом $30^{\circ }$ при вершине $A\text{:}$

$$AH=OA\cdot \cos 30^{\circ }=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},AB=2\cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

2. Радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра $O$ до стороны, то есть длина того же перпендикуляра $OH\text{.}$ Из того же прямоугольного треугольника $AOH\text{:}$

$$r=OH=OA\cdot \sin 30^{\circ }=R\cdot \frac{1}{2}=\frac{R}{2}.$$

Проверка вторым способом. Сторону можно найти и по теореме косинусов в треугольнике $AOB\text{:}$

$$A{B}^2=R^2+R^2-2R^2\cos 120^{\circ }=3R^2,AB=R\sqrt{3}.$$

Для правильного треугольника со стороной $a$ известно $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}\text{.}$ Подставим найденное $a=R\sqrt{3}\text{:}$

$$r=\frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{R}{2}.$$

Кроме того, высота треугольника равна $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}\text{,}$ и действительно $h=R+r=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}\text{.}$

Ответ: доказательство.