Задача №20782

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной $a\text{.}$

Докажите, что треугольник $ACE$ равносторонний и его площадь вдвое меньше площади шестиугольника.

1. Треугольник $ACE$ равносторонний.

Угол правильного шестиугольника равен $\frac{180^{\circ }\cdot (6-2)}{6}=120^{\circ }\text{.}$ Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC=a$) с углом $120^{\circ }$ при вершине $B\text{,}$ поэтому углы при основании $AC$ равны $\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }\text{.}$ Проведём высоту $BH$ к основанию; в равнобедренном треугольнике она же медиана, значит, $AC=2AH\text{,}$ а из прямоугольного треугольника $ABH$

$$AH=AB\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2},AC=2AH=a\sqrt{3}$$

(тот же результат даёт теорема косинусов: $A{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=3a^2$).
Треугольники $CDE$ и $EFA$ устроены точно так же ($CD=DE=EF=FA=a\text{,}$ углы при вершинах $D$ и $F$ равны $120^{\circ }$), поэтому $CE=EA=a\sqrt{3}\text{.}$ Все три стороны треугольника $ACE$ равны $a\sqrt{3}$ — он равносторонний.

2. Площади.

Площадь треугольника $ACE\text{:}$

$$S_{ACE}=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3a^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2.$$

Площадь шестиугольника (он разбивается диагоналями $AD\text{,}$ $BE\text{,}$ $CF$ на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$):

$$S_{ABCDEF}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2.$$

Отсюда

$$\frac{S_{ACE}}{S_{ABCDEF}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2}=\frac{1}{2},$$

то есть площадь треугольника $ACE$ вдвое меньше площади шестиугольника.

Проверка вторым способом. Шестиугольник состоит из треугольника $ACE$ и трёх «уголков» — треугольников $ABC\text{,}$ $CDE\text{,}$ $EFA\text{.}$ Уголки равны между собой (все они — равнобедренные треугольники с боковыми сторонами $a$ и углом $120^{\circ }$ между ними), а площадь каждого равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2,$$

где $BH=AB\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{a}{2}$ — та же высота, что и в пункте 1. Их суммарная площадь равна $3\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2=S_{ACE}\text{.}$ Значит, треугольник $ACE$ занимает ровно половину шестиугольника.

Ответ: доказательство.