Задача №20770

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Докажите, что четырёхугольник $ACEG$ — квадрат.

1. Угол восьмиугольника. По формуле угла правильного $n$-угольника при $n=8$ получаем $\frac{(8-2)\cdot 180^{\circ }}{8}=\frac{1080^{\circ }}{8}=135^{\circ }\text{.}$

2. Равные диагонали. Пусть сторона равна $a\text{.}$ Треугольники $ABC\text{,}$ $CDE\text{,}$ $EFG\text{,}$ $GHA$ равны по двум сторонам и углу между ними: в каждом две стороны равны $a\text{,}$ а угол между ними — угол восьмиугольника, то есть $135^{\circ }\text{.}$ Значит, $AC=CE=EG=GA\text{.}$ Так как восьмиугольник выпуклый, $ACEG$ — выпуклый четырёхугольник, и из равенства всех его сторон следует, что это ромб.

3. Прямой угол. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC=a$) с углом $135^{\circ }$ при вершине $B\text{,}$ поэтому $\angle BCA=\frac{180^{\circ }-135^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }\text{.}$ Аналогично из треугольника $CDE\text{:}$ $\angle DCE=22,5^{\circ }\text{.}$ Лучи $CA$ и $CE$ проходят внутри угла $BCD\text{,}$ поэтому $\angle ACE=\angle BCD-\angle BCA-\angle DCE=135^{\circ }-22,5^{\circ }-22,5^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$

4. Вывод. Ромб с прямым углом — квадрат, значит, $ACEG$ — квадрат.

Проверка вторым способом. Восьмиугольник вписан в окружность радиуса $R$ с центром $O\text{,}$ а $A\text{,}$ $C\text{,}$ $E\text{,}$ $G$ — вершины через одну, поэтому центральные углы $\angle AOC=\angle COE=\angle EOG=\angle GOA=2\cdot \frac{360^{\circ }}{8}=90^{\circ }\text{.}$ Четыре точки на одной окружности, попарно разделённые центральными углами по $90^{\circ }\text{,}$ образуют квадрат: $AC=CE=EG=GA=2R\sin 45^{\circ }=R\sqrt{2}\text{,}$ а $AE=GC=2R$ — диаметры, и $A{C}^2+C{E}^2=2R^2+2R^2=4R^2=A{E}^2\text{.}$ Тот же вывод.

Ответ: утверждение доказано.