Задача №20781

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной $a\text{,}$ точка $M$ — середина стороны $AB\text{,}$ точка $N$ — середина стороны $DE\text{.}$

Докажите, что прямая $MN$ — серединный перпендикуляр к стороне $AB$ и что $MN=a\sqrt{3}\text{.}$

Пусть $O$ — центр шестиугольника, $R=OA=OB=\dots =OF\text{.}$

1. $OM\perp AB\text{.}$

Центральный угол $\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }\text{,}$ а $OA=OB\text{,}$ поэтому треугольник $AOB$ равносторонний со стороной $a$ (в частности, $R=a$). В равностороннем треугольнике медиана $OM$ является и высотой, значит,

$$OM\perp AB,OM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Аналогично $ON\perp DE$ и $ON=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{.}$

2. Точки $M\text{,}$ $O\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой.

Так как $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=180^{\circ }$ и $OA=OD\text{,}$ точка $O$ — середина отрезка $AD\text{;}$ аналогично $O$ — середина $BE\text{.}$ Значит, центральная симметрия с центром $O$ переводит $A$ в $D$ и $B$ в $E\text{,}$ а потому отрезок $AB$ — в отрезок $DE$ и середину $M$ отрезка $AB$ — в середину $N$ отрезка $DE\text{.}$ При центральной симметрии точка, её образ и центр лежат на одной прямой, причём $OM=ON\text{.}$ Итак, $M\text{,}$ $O\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой и

$$MN=OM+ON=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$$

3. Вывод.

Прямая $MN$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и содержит точку $O\text{,}$ причём $OM\perp AB\text{.}$ Значит, прямая $MN$ перпендикулярна $AB$ и проходит через её середину, то есть является серединным перпендикуляром к стороне $AB\text{.}$

Проверка вторым способом. Из $OA=OB$ следует, что $O$ равноудалена от концов отрезка $AB\text{,}$ то есть лежит на серединном перпендикуляре к $AB\text{;}$ вместе с точкой $M$ она задаёт ровно эту прямую. Длина: $MN$ — удвоенная апофема шестиугольника, а апофема равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{,}$ поэтому $MN=a\sqrt{3}\text{.}$

Ответ: доказательство.