Задача №20780

$ABCDE$ — правильный пятиугольник.

Докажите, что $AC=BD\text{.}$

1. Углы пятиугольника.

Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $180^{\circ }\cdot (5-2)=540^{\circ }\text{,}$ все углы правильного пятиугольника равны, поэтому

$$\angle ABC=\angle BCD=\frac{540^{\circ }}{5}=108^{\circ }.$$

2. Равные треугольники.

Обозначим сторону пятиугольника через $a\text{.}$ Рассмотрим треугольники $ABC$ и $BCD\text{:}$

• $AB=BC=a$ (стороны правильного пятиугольника);
• $BC=CD=a\text{;}$
• $\angle ABC=\angle BCD=108^{\circ }$ — углы между этими сторонами.

Значит, треугольники $ABC$ и $BCD$ равны по двум сторонам и углу между ними. У равных треугольников соответственные стороны равны, а сторонам $AC$ и $BD$ как раз соответствуют друг другу (они лежат против равных углов $\angle ABC$ и $\angle BCD$). Следовательно, $AC=BD\text{.}$

Проверка вторым способом. Опишем около пятиугольника окружность. Дуга $ABC$ состоит из двух дуг, стягиваемых сторонами $AB$ и $BC\text{,}$ а дуга $BCD$ — из дуг, стягиваемых сторонами $BC$ и $CD\text{.}$ Равные хорды $AB=BC=CD$ стягивают равные дуги, поэтому дуги $ABC$ и $BCD$ равны, а равные дуги стягиваются равными хордами: $AC=BD\text{.}$

Ответ: доказательство.