Задача №20777

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной $a\text{.}$

Докажите, что $AD=2a$ и что диагонали $AD\text{,}$ $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке.

1. Радиус описанной окружности.

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника, тогда $OA=OB=\dots =OF=R\text{,}$ а центральные углы равны

$$\angle AOB=\angle BOC=\dots =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }.$$

Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB$) с углом $60^{\circ }$ при вершине, значит, он равносторонний и $R=OA=AB=a\text{.}$

2. Точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой.

Угол $AOD$ складывается из трёх центральных углов:

$$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }.$$

Развёрнутый угол означает, что лучи $OA$ и $OD$ противоположны, то есть точка $O$ лежит на отрезке $AD\text{.}$ Поэтому

$$AD=OA+OD=R+R=2R=2a.$$

3. Три диагонали пересекаются в одной точке.

Точно так же $\angle BOE=\angle BOC+\angle COD+\angle DOE=180^{\circ }$ и $\angle COF=180^{\circ }\text{,}$ поэтому точка $O$ лежит и на отрезке $BE\text{,}$ и на отрезке $CF\text{.}$ Значит, все три диагонали $AD\text{,}$ $BE\text{,}$ $CF$ проходят через одну точку — центр $O\text{.}$

Проверка вторым способом. Так как $O$ лежит на отрезке $AD$ и $OA=OD=R\text{,}$ отрезок $AD$ — диаметр описанной окружности, а диаметр равен $2R\text{.}$ Для шестиугольника $R=a\text{,}$ значит, $AD=2a\text{;}$ все диаметры проходят через центр, поэтому $AD\text{,}$ $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O\text{.}$

Ответ: доказательство.