Задача №20769

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — равнобедренная трапеция, большее основание которой вдвое больше меньшего.

1. Центр и радиусы. Пусть $O$ — центр шестиугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона. Каждый центральный угол равен $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }\text{,}$ поэтому треугольники $AOB\text{,}$ $BOC\text{,}$ $COD$ равнобедренные ($OA=OB=OC=OD=R$) с углом $60^{\circ }$ при вершине, значит, они равносторонние и $AB=BC=CD=R=a\text{.}$

2. Диагональ $AD\text{.}$ $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=3\cdot 60^{\circ }=180^{\circ }\text{,}$ поэтому точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой и $AD=AO+OD=2R=2a\text{.}$

3. Параллельность. Треугольник $AOB$ равносторонний, поэтому $\angle DAB=\angle OAB=60^{\circ }\text{.}$ Угол шестиугольника равен $\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }\text{,}$ значит, $\angle ABC=120^{\circ }\text{.}$ Тогда $\angle DAB+\angle ABC=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$ — это внутренние односторонние углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB\text{,}$ следовательно, $AD\parallel BC\text{.}$

4. Трапеция равнобедренная. Стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB=CD=a$). Они не параллельны: иначе $ABCD$ был бы параллелограммом и выполнялось бы $AD=BC\text{,}$ но $AD=2a\ne a=BC\text{.}$ Значит, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ и равными боковыми сторонами $AB=CD\text{,}$ то есть равнобедренная.

5. Отношение оснований. $AD=2a=2BC\text{,}$ то есть большее основание вдвое больше меньшего.

Проверка вторым способом. Перпендикуляр, проведённый к $BC$ через центр $O\text{,}$ — ось симметрии правильного шестиугольника: она меняет местами $B$ и $C\text{,}$ $A$ и $D\text{.}$ При этой симметрии отрезки $BC$ и $AD$ переходят в себя, значит, оба перпендикулярны оси, а потому параллельны друг другу; кроме того, $AB$ переходит в $DC\text{,}$ откуда $AB=CD\text{.}$ Тот же вывод.

Ответ: утверждение доказано.