Задача №20771

В правильном треугольнике $ABC$ на сторонах $AB\text{,}$ $BC$ и $CA$ отмечены точки $M\text{,}$ $N$ и $K$ соответственно так, что $AM=BN=CK\text{.}$ Докажите, что треугольник $MNK$ — правильный.

1. Обозначения. Пусть сторона правильного треугольника равна $a\text{,}$ а $AM=BN=CK=x\text{,}$ где $0<x<a\text{.}$ Все углы правильного треугольника равны $\frac{(3-2)\cdot 180^{\circ }}{3}=60^{\circ }\text{.}$

2. Вторые отрезки тоже равны. Точки лежат на сторонах, поэтому $MB=AB-AM=a-x\text{,}$ $NC=BC-BN=a-x\text{,}$ $KA=CA-CK=a-x\text{.}$ Итак, $MB=NC=KA=a-x\text{.}$

3. Равные треугольники. Рассмотрим треугольники $AMK\text{,}$ $BNM$ и $CKN\text{.}$ В них
$AM=BN=CK=x\text{,}$ $AK=BM=CN=a-x\text{,}$ $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ }\text{.}$
Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4. Вывод. Из равенства треугольников следуют равенства третьих сторон: $MK=NM=KN\text{.}$ Треугольник с тремя равными сторонами — правильный, что и требовалось доказать.

Проверка вторым способом. Возьмём $a=3$ и $x=1\text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $AMK\text{:}$ $M{K}^2=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cos 60^{\circ }=1+4-2=3\text{,}$ то есть $MK=\sqrt{3}\text{.}$ Точно такие же вычисления в треугольниках $BNM$ и $CKN$ дают $NM=KN=\sqrt{3}$ — стороны действительно равны.

Ответ: утверждение доказано.