Задача №20775

Точки $M\text{,}$ $N\text{,}$ $P$ и $Q$ — середины сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD$ и $DA$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что $MNPQ$ — квадрат.

1. Равные прямоугольные треугольники. Пусть сторона квадрата равна $a\text{.}$ Все углы квадрата прямые, а точки $M\text{,}$ $N\text{,}$ $P\text{,}$ $Q$ делят стороны пополам, поэтому
$AM=MB=BN=NC=CP=PD=DQ=QA=\frac{a}{2}\text{.}$
Прямоугольные треугольники $AMQ\text{,}$ $BNM\text{,}$ $CPN$ и $DQP$ равны по двум катетам (у каждого катеты равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$).

2. Все стороны равны. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $QM=MN=NP=PQ\text{.}$ Значит, $MNPQ$ — ромб.

3. Прямой угол. Каждый из этих треугольников равнобедренный и прямоугольный, поэтому его острые углы равны $\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=45^{\circ }\text{.}$ В частности, $\angle AMQ=\angle BMN=45^{\circ }\text{.}$ Точки $A\text{,}$ $M\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle QMN=180^{\circ }-\angle AMQ-\angle BMN=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$

4. Вывод. Ромб, у которого есть прямой угол, — квадрат. Значит, $MNPQ$ — квадрат.

Проверка вторым способом. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD\text{.}$ Поворот вокруг $O$ на $90^{\circ }$ переводит квадрат в себя, а вершины — по циклу $A\to B\to C\to D\to A\text{;}$ вместе со сторонами в себя переходят и их середины: $M\to N\to P\to Q\to M\text{.}$ Значит, четырёхугольник $MNPQ$ переходит в себя при повороте на $90^{\circ }\text{,}$ поэтому все его стороны равны и все углы равны, то есть он правильный, а правильный четырёхугольник — это квадрат. Дополнительная числовая проверка: при $a=4$ получаем $MN=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{,}$ площадь $MNPQ$ равна $(2\sqrt{2}{)}^2=8\text{,}$ что вдвое меньше площади $ABCD\text{,}$ равной $16\text{,}$ — как и должно быть.

Ответ: утверждение доказано.