Задача №20776

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a$ отмечен центр $O$ описанной окружности и проведены отрезки $OA\text{,}$ $OB\text{,}$ $OC\text{,}$ $OD\text{,}$ $OE\text{,}$ $OF\text{.}$

Докажите, что эти отрезки разбивают шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников, и выведите формулу площади правильного шестиугольника $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\text{.}$

1. Все шесть треугольников равнобедренные.

Центр $O$ правильного многоугольника равноудалён от всех вершин, поэтому

$$OA=OB=OC=OD=OE=OF=R.$$

Значит, каждый из треугольников $AOB\text{,}$ $BOC\text{,}$ $COD\text{,}$ $DOE\text{,}$ $EOF\text{,}$ $FOA$ равнобедренный с боковыми сторонами $R\text{.}$

2. Каждый треугольник равносторонний.

Отрезки $OA,OB,\dots ,OF$ делят полный угол при точке $O$ на шесть равных центральных углов:

$$\angle AOB=\angle BOC=\dots =\angle FOA=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }.$$

В равнобедренном треугольнике $AOB$ угол при вершине равен $60^{\circ }\text{,}$ значит, углы при основании равны

$$\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Все углы треугольника $AOB$ равны $60^{\circ }\text{,}$ поэтому он равносторонний и $AB=OA=OB=R\text{.}$ Отсюда сразу $R=a\text{:}$ радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне.

3. Треугольники равны между собой.

У всех шести треугольников все стороны равны $a\text{,}$ поэтому они равны по трём сторонам. Вместе они покрывают весь шестиугольник и попарно не перекрываются, то есть действительно дают разбиение на шесть равных равносторонних треугольников.

4. Площадь.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\text{,}$ поэтому

$$S=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2.$$

Проверка вторым способом. Площадь правильного многоугольника равна $S=\frac{1}{2}Pr\text{,}$ где $P$ — периметр, $r$ — апофема. Здесь $P=6a\text{,}$ а апофема — высота равностороннего треугольника со стороной $a\text{,}$ то есть $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Тогда

$$S=\frac{1}{2}\cdot 6a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2,$$

что совпадает с полученной формулой.

Ответ: доказательство.