Задача №20773

В квадрате $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ точка $N$ — середина стороны $CD\text{.}$ Докажите, что $AM\perp BN\text{.}$

1. Равные треугольники. Пусть сторона квадрата равна $a\text{.}$ Квадрат — правильный четырёхугольник, все его углы равны $\frac{(4-2)\cdot 180^{\circ }}{4}=90^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABM$ и $BCN\text{:}$ $AB=BC=a\text{,}$ $BM=CN=\frac{a}{2}\text{,}$ $\angle ABM=\angle BCN=90^{\circ }\text{.}$ Значит, они равны по двум катетам, и потому $\angle BAM=\angle CBN\text{.}$

2. Точка пересечения. Отрезки $AM$ и $BN$ лежат внутри квадрата и пересекаются; обозначим точку пересечения через $P\text{.}$

3. Счёт углов. Луч $BN$ проходит внутри угла $ABC\text{,}$ поэтому $\angle ABP=\angle ABC-\angle CBN=90^{\circ }-\angle CBN\text{.}$ Тогда в треугольнике $ABP$
$\angle BAP+\angle ABP=\angle BAM+90^{\circ }-\angle CBN=90^{\circ }\text{,}$
так как $\angle BAM=\angle CBN\text{.}$

4. Вывод. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle APB=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть $AM\perp BN\text{.}$

Проверка вторым способом. Введём координаты: $A(0;a)\text{,}$ $B(a;a)\text{,}$ $C(a;0)\text{,}$ $D(0;0)\text{.}$ Тогда $M\left(a;\frac{a}{2}\right)$ и $N\left(\frac{a}{2};0\right)\text{.}$ Направляющие векторы: $\overrightarrow{AM}=\left(a;-\frac{a}{2}\right)\text{,}$ $\overrightarrow{BN}=\left(-\frac{a}{2};-a\right)\text{.}$ Их скалярное произведение равно $a\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot (-a)=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0\text{,}$ значит, прямые перпендикулярны. Тот же вывод.

Ответ: утверждение доказано.