Задача №20767

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник. Докажите, что диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD\text{.}$

1. Угол правильного шестиугольника. Угол правильного $n$-угольника равен $\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}\text{.}$ При $n=6$ получаем $\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }\text{,}$ то есть каждый угол шестиугольника $ABCDEF$ равен $120^{\circ }\text{.}$

2. Треугольник $ABC\text{.}$ Стороны $AB$ и $BC$ — стороны правильного шестиугольника, поэтому $AB=BC$ и треугольник $ABC$ равнобедренный. Угол при его вершине $B$ — это угол шестиугольника, то есть $\angle ABC=120^{\circ }\text{.}$ Углы при основании равны: $\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }\text{.}$

3. Угол $ACD\text{.}$ Шестиугольник выпуклый, поэтому его диагональ $CA$ лежит внутри многоугольника и луч $CA$ проходит внутри угла $BCD\text{.}$ Значит, $\angle ACD=\angle BCD-\angle BCA=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть $AC\perp CD\text{.}$

Проверка вторым способом. Пусть сторона шестиугольника равна $a\text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $ABC\text{:}$ $A{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=2a^2+a^2=3a^2\text{.}$ Большая диагональ $AD$ проходит через центр $O$ и состоит из двух радиусов описанной окружности, каждый из которых равен стороне, поэтому $AD=2a\text{.}$ Тогда в треугольнике $ACD$ выполнено $A{C}^2+C{D}^2=3a^2+a^2=4a^2=A{D}^2\text{,}$ и по теореме, обратной теореме Пифагора, угол $ACD$ прямой. Получен тот же результат.

Ответ: утверждение доказано.