Задача №20763

Прямая $x=4$ пересекает график функции $y=\frac{8}{x}$ в точке $A\text{,}$ а график функции $y=\frac{k}{x}$ — в точке $B\text{.}$ Известно, что $AB=5$ и $k>0\text{.}$ Найдите $k\text{.}$

Обе точки имеют абсциссу $4\text{,}$ поэтому расстояние между ними равно модулю разности ординат.

Ордината точки $A\text{:}$

Ордината точки $B\text{:}$ $y_B=\frac{k}{4}\text{.}$ Тогда

Отсюда два случая:

1) $\frac{k}{4}-2=5\text{,}$ то есть $\frac{k}{4}=7$ и $k=28\text{;}$
2) $\frac{k}{4}-2=-5\text{,}$ то есть $\frac{k}{4}=-3$ и $k=-12\text{.}$

По условию $k>0\text{,}$ поэтому подходит только $k=28\text{.}$

Проверка: при $k=28$ точка $B$ имеет ординату $\frac{28}{4}=7\text{,}$ и $AB=|7-2|=5$ — условие выполнено.

Ответ: $28\text{.}$