Задача №20716

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=12\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 9.

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K\text{;}$ $BC=12\text{,}$ расстояние от $K$ до прямой $AB$ равно $9\text{.}$

1. Биссектрисы перпендикулярны.
Углы $A$ и $B$ параллелограмма — соседние, поэтому $\angle A+\angle B=180^{\circ }\text{.}$ Биссектрисы делят их пополам, значит в треугольнике $ABK$

откуда $\angle AKB=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$

2. Высота параллелограмма.
Опустим из $K$ перпендикуляр $KP$ на $AB\text{,}$ $KP=9$ — это высота прямоугольного треугольника $AKB\text{,}$ проведённая из вершины прямого угла. Обозначим $\angle KAB=\alpha \text{,}$ тогда $\angle KBA=90^{\circ }-\alpha \text{,}$ и из прямоугольных треугольников $AKP$ и $BKP\text{:}$

а полный угол при вершине $A$ равен $2\alpha \text{.}$

3. Связь высоты с точкой $K\text{.}$
Пусть $AB=a\text{.}$ Обозначим полную высоту параллелограмма (расстояние между прямыми $AB$ и $CD$) через $h\text{.}$ Так как $\angle BAD=2\alpha \text{,}$ а боковая сторона $AD=BC=12\text{,}$ то

Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ на расстоянии $KP=9$ от $AB\text{.}$ Её удаление от $AB$ равно

поскольку в треугольнике $ABK$ высота из прямого угла $K$ равна $\frac{AP\cdot BP}{AB}\text{,}$ а прямой расчёт даёт $KP=\frac{a}{2}\sin 2\alpha \text{.}$ Отсюда

4. Площадь.

Проверка. Возьмём $\angle A=60^{\circ }$ ($\alpha =30^{\circ }$). Тогда $a\sin 60^{\circ }=18\Rightarrow a=\frac{18}{\sin 60^{\circ }}=12\sqrt{3}\text{.}$ Высота $h=12\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}\text{,}$ удаление $K\text{:}$ $\frac{a}{2}\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9$ — совпадает. Площадь $S=a\cdot h=12\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=216\text{.}$ Результат не зависит от угла.

Ответ: $216\text{.}$