В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями BC = b (меньшее) и AD = a (большее), боковыми сторонами AB = CD. Находим стороны трапеции. В трапецию можно вписать окружность, значит, суммы противоположных сторон равны: BC + AD = AB + CD. Периметр равен 200, поэтому BC + AD = AB + CD = 100. Так как трапеция равнобедренная, AB = CD = 50. Находим высоту. Площадь трапеции: S = (a+b)/(2)* h, откуда 2000 = (100)/(2)* h = 50h, h = 40. Находим основания. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции AH = (a-b)/(2). Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора: AH = sqrt(AB^2 - BH^2) = sqrt(50^2 - 40^2) = sqrt(900) = 30. Значит, (a-b)/(2) = 30, то есть a - b = 60. Вместе с a + b = 100 получаем a = 80, b = 20. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам ( OBC = ODA и OCB = OAD как накрест лежащие при параллельных основаниях), коэффициент подобия k = (BC)/(AD) = (20)/(80) = (1)/(4). Высоты подобных треугольников, проведённые из общей вершины O к основаниям BC и AD, лежат на одной прямой (общем перпендикуляре к параллельным основаниям), в сумме дают высоту трапеции и относятся как 1 : 4. Значит, расстояние от O до меньшего основания равно h_1 = h*(b)/(a+b) = 40*(20)/(100) = 8. Ответ: 8.

8