Задача №18834

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC=b$ (меньшее) и $AD=a$ (большее), боковыми сторонами $AB=CD\text{.}$

1. Находим стороны трапеции.

В трапецию можно вписать окружность, значит, суммы противоположных сторон равны:

Периметр равен $200\text{,}$ поэтому $BC+AD=AB+CD=100\text{.}$ Так как трапеция равнобедренная, $AB=CD=50\text{.}$

2. Находим высоту.

Площадь трапеции: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h\text{,}$ откуда

3. Находим основания.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD\text{.}$ В равнобедренной трапеции $AH=\frac{a-b}{2}\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

Значит, $\frac{a-b}{2}=30\text{,}$ то есть $a-b=60\text{.}$ Вместе с $a+b=100$ получаем $a=80\text{,}$ $b=20\text{.}$

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам ($\angle OBC=\angle ODA$ и $\angle OCB=\angle OAD$ как накрест лежащие при параллельных основаниях), коэффициент подобия

Высоты подобных треугольников, проведённые из общей вершины $O$ к основаниям $BC$ и $AD\text{,}$ лежат на одной прямой (общем перпендикуляре к параллельным основаниям), в сумме дают высоту трапеции и относятся как $1:4\text{.}$ Значит, расстояние от $O$ до меньшего основания равно

Ответ: $8\text{.}$