Задача №19816

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=25$ и $CD=16$ вписан
в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$
причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Идея. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, которые они высекают. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ поэтому

Вспомогательное построение. Отметим на окружности точку $F$ так, чтобы дуга $BF$ (в направлении от $B$ к $C$) равнялась дуге $CD\text{.}$ Тогда равным дугам отвечают равные хорды, поэтому

При этом дуга $AF\text{,}$ содержащая точку $B\text{,}$ равна

Треугольник $ABF\text{.}$ Вершина $B$ лежит на дуге $AF$ величиной $120^{\circ }\text{,}$ значит вписанный угол $\angle ABF$ опирается на дополнительную дугу $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }$ и равен её половине:

По теореме косинусов в треугольнике $ABF$ ($AB=25\text{,}$ $BF=16$):

Радиус. Треугольник $ABF$ вписан в ту же окружность, поэтому по теореме синусов

Проверка. Пусть $⌣AB=2\alpha \text{,}$ $⌣CD=2\beta \text{,}$ тогда $\alpha +\beta =60^{\circ }$ и $2R\sin \alpha =25\text{,}$ $2R\sin \beta =16\text{.}$ Отсюда $\tan \alpha =\frac{25\sqrt{3}}{57}\text{,}$ $\alpha \approx 37,23^{\circ }\text{,}$ $R=\frac{25}{2\sin \alpha }\approx 20,66\text{,}$ а $R^2\approx 427\text{;}$ контроль второй стороны: $2R\sin \beta \approx 16\text{.}$ Сходится.

Ответ: $R=\sqrt{427}\text{.}$