Задача №19797

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 и 10, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

В трапеции $ABCD$ основания $BC\parallel AD\text{,}$ боковые стороны $AB=8\text{,}$ $CD=10\text{,}$ основание $BC=2\text{.}$ Пусть $M$ — середина стороны $AB\text{,}$ через которую проходит биссектриса угла $ADC\text{.}$

Дополнительное построение. Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $E\text{.}$

Шаг 1. Равные треугольники. В треугольниках $AMD$ и $BME\text{:}$

• $AM=BM$ (по условию $M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BME$ (вертикальные);
• $\angle MAD=\angle MBE$ (накрест лежащие при $AD\parallel BE$ и секущей $AB$).

Значит, $△AMD=△BME$ (по стороне и двум прилежащим углам), откуда $BE=AD\text{.}$

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. $DE$ — биссектриса, поэтому $\angle ADE=\angle EDC\text{.}$ Так как $AD\parallel CE\text{,}$ то $\angle ADE=\angle DEC$ (накрест лежащие). Следовательно, $\angle EDC=\angle DEC\text{,}$ и треугольник $DCE$ равнобедренный: $CE=CD=10\text{.}$

Шаг 3. Находим большее основание. Точка $B$ лежит между $C$ и $E\text{,}$ поэтому

Шаг 4. Высота трапеции. Разность оснований $AD-BC=8-2=6$ — это сумма горизонтальных проекций боковых сторон. Пусть проекции $AB$ и $CD$ равны $p$ и $q\text{;}$ тогда

Отсюда $q^2-p^2=36\text{,}$ то есть $(q-p)(q+p)=36\text{,}$ $q-p=6\text{.}$ Вместе с $q+p=6$ получаем $q=6,p=0\text{.}$

Значит, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и высота трапеции

Шаг 5. Площадь.

Ответ: $40\text{.}$