Постройте график функции y=x2+13x−3∣x+7∣+42 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскрываем модуль. Знак выражения под модулем меняется в точке x=−7.
Случай 1: x≥−7, тогда ∣x+7∣=x+7:
y=x2+13x−3(x+7)+42=x2+10x+21=(x+3)(x+7).Это парабола ветвями вверх с вершиной x0=−5, y0=(−5)2+10⋅(−5)+21=−4, то есть вершина (−5;−4). На границе x=−7: y=0.
Случай 2: x<−7, тогда ∣x+7∣=−(x+7):
y=x2+13x+3(x+7)+42=x2+16x+63=(x+7)(x+9).Это парабола ветвями вверх с вершиной x0=−8, y0=(−8)2+16⋅(−8)+63=−1, то есть вершина (−8;−1). При x→−7 значение y→0 (точка x=−7 относится к первому куску).
График — две дуги парабол, гладко стыкующиеся в точке (−7;0): левая дуга (x<−7) с минимумом −1 в вершине (−8;−1), правая дуга (x≥−7) с минимумом −4 в вершине (−5;−4).
Подсчёт общих точек прямой y=m с графиком.
Левая дуга (x<−7, минимум −1 при x=−8; на участке −8<x<−7 значения (−1;0), при x<−8 значения от −1 до +∞):
Правая дуга (x≥−7, минимум −4 при x=−5; на участке −7≤x<−5 значения [0;−4), при x>−5 от −4 до +∞):
Суммарно число общих точек:
Ровно три общие точки получаются при m=0 и m=−1.
Проверка. При m=0: точки (−9;0), (−7;0), (−3;0) — три точки. При m=−1: вершина левой дуги (−8;−1) и два корня уравнения x2+10x+21=−1, то есть x2+10x+22=0, x=−5±3 (оба ≥−7) — итого три точки.
Ответ: m=−1 или m=0.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ