Задача №20469

Постройте график функции

$y=x|x|-|x|-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль и запишем функцию кусочно.

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x-x-5x=x^2-6x.$$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot (-x)-(-x)-5x=-x^2+x-5x=-x^2-4x.$$

Итак,

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x,& x\ge 0,\\ -x^2-4x,& x<0.\end{array}$$

Правая ветвь ($x\ge 0$) — часть параболы $y=x^2-6x$ с ветвями вверх: вершина $(3;-9)\text{,}$ проходит через $(0;0)$ и $(6;0)\text{.}$ На отрезке $[0;3]$ убывает от $0$ до $-9\text{,}$ при $x>3$ возрастает.

Левая ветвь ($x<0$) — часть параболы $y=-x^2-4x$ с ветвями вниз: вершина $(-2;4)\text{,}$ проходит через $(-4;0)$ и стремится к $(0;0)$ (сама точка $x=0$ на этой ветви не берётся). На $(-\infty ;-2]$ возрастает от $-\infty$ до $4\text{,}$ на $[-2;0)$ убывает от $4$ до $0\text{.}$

Считаем число общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Число точек на правой ветви:

• $m<-9$ — нет; $m=-9$ — одна ($x=3$); $-9<m\le 0$ — две; $m>0$ — одна.

Число точек на левой ветви:

• $m>4$ — нет; $m=4$ — одна ($x=-2$); $0<m<4$ — две; $m\le 0$ — одна.

Суммарное число общих точек:

Ровно две общие точки получаются при $m=-9$ и при $m=4\text{.}$

Ответ: $m=-9$ или $m=4\text{.}$