Задача №19071

Постройте график функции

$y=\frac{2|x|-1}{|x|-2x^2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

1. Область определения.

Знаменатель не должен обращаться в нуль: $|x|-2x^2\ne 0\text{,}$ то есть $|x|(1-2|x|)\ne 0$ (так как $x^2=|x{|}^2$). Отсюда $x\ne 0\text{,}$ $x\ne \frac{1}{2}\text{,}$ $x\ne -\frac{1}{2}\text{.}$

2. Упрощение по случаям.

Случай $x>0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ тогда

$$y=\frac{2x-1}{x-2x^2}=\frac{2x-1}{-x(2x-1)}=-\frac{1}{x}.$$

Случай $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ тогда

$$y=\frac{-2x-1}{-x-2x^2}=\frac{-(2x+1)}{-x(2x+1)}=\frac{1}{x}.$$

Так как при $x<0$ выполнено $\frac{1}{x}=-\frac{1}{|x|}\text{,}$ обе ветви записываются одной формулой

$$y=-\frac{1}{|x|},x\ne 0,x\ne \pm \frac{1}{2}.$$

3. График. Это две ветви гиперболы, лежащие ниже оси $Ox\text{:}$ при $x>0$ — ветвь $y=-\frac{1}{x}$ (четвёртая четверть), при $x<0$ — ветвь $y=\frac{1}{x}$ (третья четверть). Асимптоты — оси координат. Из графика выколоты две точки: $\left(\frac{1}{2};-2\right)$ и $\left(-\frac{1}{2};-2\right)\text{.}$

4. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$

Прямая проходит через начало координат. Решаем $kx=-\frac{1}{|x|}\text{,}$ то есть $kx|x|=-1\text{.}$

При $x>0\text{:}$ $k{x}^2=-1$ — решение существует только при $k<0\text{,}$ и тогда $x=\frac{1}{\sqrt{-k}}\text{.}$ Общей точки не будет лишь в случае, когда это значение попадает в выколотую точку: $\frac{1}{\sqrt{-k}}=\frac{1}{2}⟺-k=4⟺k=-4\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ получаем $-k{x}^2=-1\text{,}$ то есть $k{x}^2=1$ — решение существует только при $k>0\text{,}$ и тогда $x=-\frac{1}{\sqrt{k}}\text{.}$ Точка выколота при $-\frac{1}{\sqrt{k}}=-\frac{1}{2}⟺k=4\text{.}$

При $k=0\text{:}$ прямая $y=0$ — ось $Ox\text{;}$ весь график лежит строго ниже неё ($y<0$), общих точек нет.

Итак, при $k<0\text{,}$ $k\ne -4$ есть общая точка на правой ветви; при $k>0\text{,}$ $k\ne 4$ — на левой ветви. Общих точек нет ровно при $k=-4\text{,}$ $k=0\text{,}$ $k=4\text{.}$

Ответ: $k=-4;0;4\text{.}$