Постройте график функции y=(2|x|-1)/(|x|-2x^(2)). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Область определения. Знаменатель не должен обращаться в нуль: |x|-2x^(2)!= 0, то есть |x|(1-2|x|)!= 0 (так как x^(2)=|x|^(2)). Отсюда x!= 0, x!= 12, x!= -12. Упрощение по случаям. Случай x>0: |x|=x, тогда y=(2x-1)/(x-2x^(2))=(2x-1)/(-x(2x-1))=-(1)/(x). Случай x<0: |x|=-x, тогда y=(-2x-1)/(-x-2x^(2))=(-(2x+1))/(-x(2x+1))=(1)/(x). Так как при x<0 выполнено (1)/(x)=-(1)/(|x|), обе ветви записываются одной формулой y=-(1)/(|x|), x!= 0, x!=+-12. График. Это две ветви гиперболы, лежащие ниже оси Ox: при x>0 — ветвь y=-(1)/(x) (четвёртая четверть), при x<0 — ветвь y=(1)/(x) (третья четверть). Асимптоты — оси координат. Из графика выколоты две точки: (12;-2) и (-12;-2). Пересечение с прямой y=kx. Прямая проходит через начало координат. Решаем kx=-(1)/(|x|), то есть kx|x|=-1. При x>0: kx^(2)=-1 — решение существует только при k<0, и тогда x=(1)/(sqrt(-k)). Общей точки не будет лишь в случае, когда это значение попадает в выколотую точку: (1)/(sqrt(-k))=12 -k=4 k=-4. При x<0: |x|=-x, получаем -kx^(2)=-1, то есть kx^(2)=1 — решение существует только при k>0, и тогда x=-(1)/(sqrt(k)). Точка выколота при -(1)/(sqrt(k))=-12 k=4. При k=0: прямая y=0 — ось Ox; весь график лежит строго ниже неё (y<0), общих точек нет. Итак, при k<0, k!=-4 есть общая точка на правой ветви; при k>0, k!= 4 — на левой ветви. Общих точек нет ровно при k=-4, k=0, k=4. Ответ: k=-4; 0; 4.

-4; 0; 4