Постройте график функции y=|x|* (x-1)-6x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. При x >= 0: |x| = x, поэтому y = x(x-1) - 6x = x^2 - 7x. При x < 0: |x| = -x, поэтому y = -x(x-1) - 6x = -x^2 - 5x. Опишем ветви графика. На промежутке x >= 0 график — часть параболы y = x^2 - 7x (ветви вверх). Её нули: x = 0 и x = 7; вершина x = (7)/(2) = 3,5, y = 3,5^2 - 7* 3,5 = -12,25. Значит, на [0;+inf) функция убывает от 0 до -12,25, затем возрастает до +inf. На промежутке x < 0 график — часть параболы y = -x^2 - 5x (ветви вниз). Её нули: x = 0 и x = -5; вершина x = -2,5, y = -(-2,5)^2 - 5*(-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25. Значит, на (-inf;-2,5] функция возрастает от -inf до 6,25, а на [-2,5;0) убывает от 6,25 до 0 (значение 0 в точке x=0 уже относится к первой ветви). В точке x = 0 обе формулы дают y = 0, график непрерывен. Подсчитаем число общих точек с прямой y = m. Число точек пересечения с левой ветвью (x<0): m > 6,25 — нет точек; m = 6,25 — одна точка (вершина x=-2,5); 0 < m < 6,25 — две точки; m <= 0 — одна точка (на возрастающем куске). Число точек пересечения с правой ветвью (x >= 0): m < -12,25 — нет точек; m = -12,25 — одна точка (вершина x=3,5); -12,25 < m <= 0 — две точки; m > 0 — одна точка. Складываем: m < -12,25: 1 + 0 = 1; m = -12,25: 1 + 1 = 2; -12,25 < m <= 0: 1 + 2 = 3; 0 < m < 6,25: 2 + 1 = 3; m = 6,25: 1 + 1 = 2; m > 6,25: 0 + 1 = 1. Ровно две общие точки прямая y=m имеет только тогда, когда она проходит через вершину одной из двух ветвей. Ответ: m = -12,25 и m = 6,25.

m = -12,25; m = 6,25