Задача №18908

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x-1)-6x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль.

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x(x-1)-6x=x^2-7x.$$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=-x(x-1)-6x=-x^2-5x.$$

2. Опишем ветви графика.

На промежутке $x\ge 0$ график — часть параболы $y=x^2-7x$ (ветви вверх). Её нули: $x=0$ и $x=7\text{;}$ вершина $x=\frac{7}{2}=3,5\text{,}$ $y=3,5^2-7\cdot 3,5=-12,25\text{.}$ Значит, на $[0;+\infty )$ функция убывает от $0$ до $-12,25\text{,}$ затем возрастает до $+\infty \text{.}$

На промежутке $x<0$ график — часть параболы $y=-x^2-5x$ (ветви вниз). Её нули: $x=0$ и $x=-5\text{;}$ вершина $x=-2,5\text{,}$ $y=-(-2,5{)}^2-5\cdot (-2,5)=-6,25+12,5=6,25\text{.}$ Значит, на $(-\infty ;-2,5]$ функция возрастает от $-\infty$ до $6,25\text{,}$ а на $[-2,5;0)$ убывает от $6,25$ до $0$ (значение $0$ в точке $x=0$ уже относится к первой ветви).

В точке $x=0$ обе формулы дают $y=0\text{,}$ график непрерывен.

3. Подсчитаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Число точек пересечения с левой ветвью ($x<0$):

• $m>6,25$ — нет точек;
• $m=6,25$ — одна точка (вершина $x=-2,5$);
• $0<m<6,25$ — две точки;
• $m\le 0$ — одна точка (на возрастающем куске).

Число точек пересечения с правой ветвью ($x\ge 0$):

• $m<-12,25$ — нет точек;
• $m=-12,25$ — одна точка (вершина $x=3,5$);
• $-12,25<m\le 0$ — две точки;
• $m>0$ — одна точка.

Складываем:

• $m<-12,25\text{:}$ $1+0=1\text{;}$
• $m=-12,25\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $-12,25<m\le 0\text{:}$ $1+2=3\text{;}$
• $0<m<6,25\text{:}$ $2+1=3\text{;}$
• $m=6,25\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $m>6,25\text{:}$ $0+1=1\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет только тогда, когда она проходит через вершину одной из двух ветвей.

Ответ: $m=-12,25$ и $m=6,25\text{.}$